开元本文是对几何打算和开发点缀的跨学科磋议，涉及史书、科学史、对称表面和艺术史等界限。该磋议夸大应用对称符号的通用科学说话的须要性，以便以精准的方法辩论和换取几何图案。要清楚几何打算，有须要超越对称题目，进入打算的措施。这是基于特意为工匠写的适用几何学手稿的首要出处。这项磋议证实，正在文雅中，科学和艺术之间不单有直接的接触，况且有协作。
11:3 他们互相研讨说，来吧，咱们要作砖，把砖烧透了。他们就拿砖当石头，又拿石漆当灰泥。
11:4 他们说，来吧，咱们要修造一座城和一座塔，塔顶通天，为要表传咱们的名，以免咱们分袂正在全地上。
11:6 耶和华说，看哪，他们成为雷同的黎民，都是雷同的言语，目前既作起这事来，自此他们所要作的事就没有不造诣的了。
11:8 于是超越，耶和华使他们从那里分袂正在全地上。他们就停工，不造那城了。
11:9 由于耶和华正在那里事件寰宇人的言语，使世人分袂正在全地上，于是那城名叫巴别（便是事件的旨趣）。
本文侦察了“史书学、科学史、科学表面与几何打算流程”这几个界限之间的联系。巴别塔的中心和多种说话的叱骂贯穿了我对这些话题的辩论，由于无论是正在几何图案的磋议中仍然正在跨学科的话语中，都缺乏一种合伙的说话。假如巴别塔的叱骂正在艺术界限困扰着咱们，咱们不必灰心，由于它是有祈望被更改的。正在圣经的类比中，来自旧约的叱骂最终正在新约中被移除。惟有通过天主的恩泽和人类爱的切实展现，说话多样性的叱骂和由此形成的说话庞杂才会被消释，人们将可以彼此清楚，就像正在圣灵到临节那天雷同(使徒行传2:7)。
坦率地说，我的设施相当于病原学。正如《旧约》中巴别塔的病原学段落评释了事物是奈何正在这个寰宇上浮现的(图1)，本文评释了事物是奈何正在我试图磋议和记载文雅中科学和艺术的直接相遇中浮现的。它还采用的配景和开始的设施和评释趋向，已成为艺术史和几何图案和点缀的磋议特质。从1970年起初，我磋议这些原料一经17年了。这本书将涵盖我正在这一界限磋议的前7年，从1970年到1977年。原料是按工夫依序大白的，并以一种有点幼我的方法。
我从我最初得回原料的流程起初，由于器械和设施对这类办事至合要紧。这类音讯很少公然披露，也欠亨常出书。恰是从这些通常被藐视的出发点起程，人们才略学到最多的东西，由于它们涉及的不单仅是器械和设施；它们涉及跨学科磋议的逻辑流程。
我的阐述始于1971年，当时有一幼群对艺术和开发点缀感风趣的人插手了一次集会。咱们都看着统一座祝贺碑和它的统一个别点缀。正在每一个案例中，咱们的描绘、明白，以至是对点缀个别和样式的定名，都与坐正在咱们旁边的人所有差别。咱们都看到了咱们所看到的，咱们每幼我都用本人的说话和本人的术语谈话。咱们走了出去，就彷佛咱们没有正在一齐过，咱们没有疏通过，咱们没有彼此清楚过。咱们都说着差其它说话开元。从那一刻起，我就认识到开发点缀的磋议存正在少许题目。咱们缺乏得当的器械和得当的或通用的说话。假如连续如许下去，咱们将永恒无法真正对这些原料举办分类、明白和清楚。
今后不久，正在一个难忘的下昼，当我浏览合于开发的书本时，我做了一个单纯的调查，自十世纪以后，越来越多的几何图形被应用，同时几何打算图案的丰富性也正在填补。这些调查引出了一个显而易见的题目：无论是谁缔造了这些慎密的几何打算，他肯定操作了适用的几何常识，使他可以得回最终的机合或几何图案。假如艺术家、工匠、开发师、修造者、打算师、木工和工匠清楚几何，他们不大概自觉地得回它。他们肯定学过，以是他们肯定被教过。然则他们是奈何被熏陶的呢？有哪些几何常识可用于教学？谁正在教学，用什么书或手册？假如存正在如许的教科书或手稿，那么咱们该当寻找它们，磋议它们的本质，澄清它们处置的题目，区别它们以为本人的原料中有题目标个别，并找到它们用来杀青现正在被公以为艺术佳作的打算和图案的几何构造设施。这种设施将使咱们更靠拢客观清楚这些工匠应用的打算设施，并清楚几何打算的一步一步的流程。
1971年炎天，当我起初寻找论文标题时，几何和开发点缀依然缭绕正在我的脑海中。我不禁回思起这个现正在颇有回报的项目是奈何起初的。我向我的导师评释了我对几何打算发达的调查，并表达了我祈望找到一本特意为工匠编写的几何教科书或手稿，教他们奈何打算和磋议手稿，以便客观地清楚几何打算和开发点缀。人们的第一反响是没有如许的事项超越。对此，我答复说，我会去寻找它，惟有当我找不到它的功夫，我才略说没有如许的东西。以是，我面对着一个最激烈的断言，即我的创议和发端结论永恒不会被找到为工匠写的手稿的物证所证明，全盘项目必定要失利。
这种急速而鲜明的否认是这一界限中普通存正在的假设的类型，即平素没有如许的手稿或书面文献存正在过，这一假设被表明是无效的。估计到我最初的题目会失利，我被央浼拓宽这个话题。以是，我到场了其他合连的题目，譬喻对文雅中那些类似响应了人们对几何学平常风趣的方面的考核。这是为了造止失利，也大概是为了记载几何学对艺术和社会的影响。当我出手寻找工匠们的教科书时，题目清单起初推广。比方，你能表明对科学或几何学的风趣是九世纪或十世纪受过平常造就的人的配景的一个别吗？到了十世纪，发达了什么样的适用几何？是什么导致了这种表象的拉长？从地舆上看，它从哪里起初，向哪个宗旨扩散？
然而，我的最终方向依然是寻得工匠们练习的是哪种几何；他们清楚什么；他们正在打算中碰到了什么题目；况且，假如工匠们也能获得几何表面，那要过多久它才不再是科学界的专有财富。什么功夫浸透到工匠和开发师身上了？科学和文雅不单相遇，况且踊跃协作吗？
我从艺术和磋议的深浸配景以及史书、史学和磋议设施的大凡配景起程来处置这些题目。迩来的三次归功于两位卓绝的教练，贝鲁特美国大学的康斯坦丁·祖拉伊克和当时正在哈佛的乔治·马克迪西。他们的培训为诈骗哈佛藏书楼编造的雄厚资源供给了须要的器械。我阅读了寰宇各地藏书楼保藏的手稿目次和索引。到周末的功夫，我一经有了一大堆索引卡，上面提到了几何学手稿。我把它们分类，看看哪些被编纂过，哪些有已知的作家，哪些有已知的实质，哪些正在哪个藏书楼或都邑，等等。当我正在翻阅都邑的卡片时，我骤然思到正在印度巴特那的Khudabakhsh藏书楼有几份手稿。另一项对索引的磋议显示，少许巴特那手稿是正在13世纪早期(公元632年/1234年)正在美索不达米亚北部的摩苏尔城被复造的。我同时思到两个题目:(1)那些手稿是奈何达到巴特那的？(2)肯定有人正在公元前632年/公元1234年正在摩苏尔练习或磋议几何，那是谁？
我告诉了第一周的磋议结果——我是奈何被启发到摩苏尔的，以及Kamäl al-Drn ynis bin Mana的熏陶，我筹算尾随他的脚迹和出现。令我惊诧的是，这个方案立刻被驳回，原故是我所确定的是因为聂斯脱里派教会及其兴盛合连的行动。我很颓废，特别是摩苏尔那位师长的名字看起来异常化。我连续搜求相合Kamäl al-Dm Yünis bin Mana的音讯，并立刻出现可得回的音讯之多令人难以置信。我所查阅的阿谁时代的简直整个史书材料都相合于他的记录，蕴涵：伊本Khallikän的史书、知名士物的讣告和同时间首要人物的史书、伊本·阿比·乌塞比的史书、历代大夫和学者的精选消息；Ibn abi Usaybia合于13世纪史书的著述《七世纪海吉拉的归纳事项和有益体会》最令人难以置信的是，沙菲派神学院的学者的史书，al-Subki[1]的沙菲派学者的伟大班级。这结果一个出处领略地将伊本·曼阿归入沙菲派的卓绝学者之列。Brockelmann的阿拉伯文学史b[2]列出了他的作品，并大白起码有一份他的作品的手稿大概对这项磋议异常感风趣。令我惊诧的是，布罗克尔曼的页面上浮现了一个音译的题目：Risälaflmä yahtäju ilayhial-sßnVu min amäl al-handasa, Kamäl al-Dm Yünis bin Mana正在上面写了一篇评论，题为Sharh al-amäl al-handasiyya。首要作品的题目，或伊本·曼阿解释的中心，字面旨趣是“合于工匠必要几何题目标论文”，而解释的题目是“合于几何题目标解释”。这个首要题目与我联思中的几何教科书手稿的实质所有一概，但我平素没有思过它会是一份手稿的真正题目。
该作品被表明是知名的科学家和数学家Abü1-Wafä al-Büzjäm的作品，他从公元945年到公元987年弃世平素栖身正在巴格达。1855年，奥地利科学史书学家F. Woepcke将该几何文本挑选出来，以为它是一份要紧的文献，对艺术史学家来说拥有卓殊的意旨，寰宇各地的藏书楼都有很多手稿的修订本[3]。以是，到了第三周，我一经找到了我要找的那种手稿的一个样本，并确定了它的作家。
正在这一点上，少许调查是有序的。开始，单纯但精确的推理和逻辑是大大都磋议的根本。大凡来说，一幼我不该当正在没有去寻找它之前就狡赖它的存正在。其次，对我的中心提案“没有如许的东西”的激烈回应，很有胀动性，类似响应了第一次寰宇大战后西方学者的成见。对他们来说，文雅不大概是智力的。他们以为工匠是常识和造就水准最低的人，惟有最低范围的缔造性表达才能，他们的禀赋，假如他们异常灵活，只蕴涵记住两三个图案。它们的终身只是复造这两三个图案。这种见识也由于早期英国游览者讲述的轶事件事而激增，比方，阿奇博尔德·克里斯蒂(Archibald Christi)的以下援用:
“东方工人正在他们的思维中领导着丰富的图案，而且正在没有札记或指挥的环境下轻松地复造它们。有一个故事讲的是一个英国的调查者，看到一个年青的工匠直接正在天花板上画了一幅最精美的图案，[调查者]找到艺术家的父亲，道喜他儿子的才能，但父亲答复说，他以为这个男孩是一个傻瓜，由于他只清楚一种图案，但他的兄弟确实是一个禀赋——他清楚三种!”[4]
据料到，愚蠢的工匠只清楚他们十个手指的数量，这证实他们的智力或造就是有限的。这个虚伪的假设是如斯根深蒂固，乃至于正在1971年炎天，对工匠几何常识的考核类似是虚伪的。没有人咨询是谁打算了这些丰富的图案，又是奈何打算的。
第三点是否认13世纪可调查到的科学行动是教的大概性，并将其归因于景教东方教会或其兴盛，即基督教文雅。教和文雅没有带来任何新东西，倭马亚王朝只是承担了拜占庭帝国，只是以扭曲的方法复造了它，这种假设是这一界限博得发扬的宏伟波折。文雅从未有过一丝科学、求实和智力行动的时机。以是，Kamäl al-Dm Yünis bin Mana被涅斯脱里派教会解雇为基督徒。为工匠/开发师编写的科学几何教科书是不存正在的。
起初寻找三周后，我找到了工匠们的几何教科书。正在前去欧洲之前，我正在哈佛福格藏书楼找到了一本合于1910年至1911年点缀的书的参考材料，证实伦敦维多利亚和阿尔伯特博物馆保藏了一批开发师的图纸，即“米尔扎阿克巴保藏”[5]，那里的办事职员花了五天工夫才找到保藏。我被它所包蕴的绘画数目和保藏的界限恐惧了。阿谁部分的办事职员和我雷同惊诧，围着桌子惊诧地看着这些来自十八和十九世纪开发师办事室的图纸。1981年，我正在两个阿拉伯城镇查验了形似的原料；此日它依然正在工匠们的手中。这些卷轴(图2)不单是根基的参考手册，也是打算手册，工匠们可能从落拣选适应的图案用于开发点缀或车间。
图2：1982年，正在一个阿拉伯幼镇的手办事坊里，有着几何图案和丹青的纸卷。
我的下一站是巴黎开元，查验Abu al-Wafä, al-Büzjäm手稿的波斯语译本。我随身带着一张购物清单，乔治·马克迪希曾如许称谓它，上面列有该藏书楼其他大概令人感风趣的物品。国度藏书楼的购物清单蕴涵一份没有题目或作家的手稿，正在目次中只被称为“一份带有几何图形的几何题目手稿”[6]。我第一眼看到这份手稿的对开本时，就领略地清楚这是一个比阿布·瓦法手稿更要紧的出现。正在这里，丰富的几何图案的打算是可识其它反复单元的图纸，这是特有的证明。别的，与Abu al-Waf手稿中的单纯样式和多边形造成对照的是，这份手稿中的丰富几何样式“合于连锁的相像和全等的图形”，表懂得一个更高和更晚的发达阶段。
当我回到剑桥时，我一经找到了一系列的书面原料，从10世纪到19世纪中期的科学和几何打算的史书，躺活着界各地的藏书楼和博物馆的贮藏室里。本相上，我的原料变得如斯令人信服，乃至于现正在以至被那些一起初对它展现出激烈嫌疑立场的人所应用和撒布。固然找得手稿只花了两个月，但正在没有任何帮帮的环境下得回这些文献的缩微菲林和/或影印件却花了好几年。与此同时，我正在勉力解读这些原料，并找到一种适应的说话来辩论它，描绘它所涉及的几何图案。
正在我磋议的早期，我认识到一种适应的科学说话的存正在，即群论和结晶学。早正在1944年，Edith Müller就写了一篇合于阿尔罕布拉宫摩尔点缀图案的群论和对称符号的论文[7]。早正在1927年，Andreas Speiser就正在他的《点缀表面》一章中号召稀奇合怀艺术。直到1935年，点群表面的科学出现才被列入国际结晶学表格。这些符号成为化学家最平常应用的说话。E. Müller大概遵照了A. Speiser创议的考核道道。她正在一座祝贺碑上编造地阐扬了这种合系，这值得高度歌咏。她的论文办事研商了科学的表面出现，并揭示了这些科学表面临清楚和分类几何图案的价格。这一音讯被整个的艺术史学家大意了超越，直到80年代初，以至没有人试图正在这个界限提出这个题目。大概她的科学说话的难度使得艺术史学家无法接触到她的原料和磋议。当我试图阅读那本书时，我认识到它对艺术史的学生或平常艺术史学家来说都太丰富、太科学了。以是E. Müller的磋议是唯逐一个将群论和对称符号利用于几何图案磋议的磋议。
为了清楚她的书，我必要清楚科学表面，我花了多数的工夫正在化学藏书楼练习群论和对称表面及其符号编造的根本常识。我出现这门说话很难，不行所有到达我的目标。对称群有这么多差其它符号编造，关于化学界限的门表汉来说，试图评议或拣选一种符号编造是很疑心的。这一点特别精确，由于我必要这种符号行动一种器械来帮帮对我正正在磋议的原料举办分类:我不筹算填补这个界限或艺术史中现有的庞杂，稀奇是，正在19世纪末令人难以置信的热闹之后，图案和点缀的磋议陷入了庞杂的形态。
到70年代中期，艺术界限履历了一场胜过性的出书物海潮，并从头惹起了人们的风趣。与前几十年比拟，出书的书本数目快速填补。然而，这些出书物的学术秤谌处于最低点，特别是正在几何和点缀磋议方面。这种庞杂气象涉及三个方面：
3.说话学的普及，以及其后的符号学，行动艺术中的“科学”,其说话是最旺盛的，而且可能被用作器械，以得回对几何图案和艺术的更科学的清楚。
上述题目标不够都证实必要一种科学的说话和设施来清楚和编造地分类几何图案。
正在70年代中期，正在这个界限的大个别工夫里，有一种对赞帮题目标普通合怀，既有皇家的，也有奥妙的。我不会深刻磋议纠集正在王室资帮上所爆发的平常题目，也不会磋议它是奈缘何及为什么正在这个界限得回忆要塞位的。也许这不是偶合，这是石油资金活动的时代，艺术史学家试图将这些资金吸引到他们的界限。正在那些年里，波斯宫廷的泉币正在艺术舞台上饰演了异常活泼的脚色。展览、集会和出书物成倍填补。
一个异常知名、活泼的国际奥妙主义群多帮帮特定的出书物，并胀励某些奥妙主义思思。他们的首要学说是“存正在的同一准绳”。他们试图表明，最终，整个表正在展现的差别都是“内正在同一的核心”。它们是从边际到核心、从相对到绝对、从有限到无尽、从多重到同一的桥梁”，援用赛义德·侯赛因·纳赛尔的线]。很多浸透着这种奥妙中心的书本的先容和媒介都是由赛义德·侯赛因·纳斯尔或泰特斯·伯克哈特写的。这些书蕴涵:Nader Ardalan和Laleh Bakhtiar所著的《同一感:波斯开发中的苏菲古板》；苏菲:拉勒·巴赫蒂亚尔奥妙寻求的表达:基思·克里奇洛的图案；和艾瑟·帕尔曼的《艺术中的几何观念》。纳斯尔的首要见识通常正在这些书顶用几何图形来证明，或者用长引号来援用。一个类型的例子是N. Ardalan的《同一的感到》中的圆心(图3 ),个中这两幅(hir)、光鲜的(manifest of apparent)和暗藏的或内正在的(Bä tin)被呈现为圆心，离别代表身体和精神:
图3.1和3.2：奥妙的符号利用于圆圈和它的核心正在N.阿达兰的同一认识b[10]。
“显化(Zähir)：将天主视为暗藏的和显化的，属于‘空间’——‘及格的’和‘神圣的’空间……行动显化，天主成为包蕴全豹的实际，“掩盖”并包蕴宇宙。正在这种见识中，物理展现可能被视为一组五个专心圆的最内中的圆圈，后面离别是其他存正在形态，最表面的圆圈符号着神圣的实质....”[S。H. Nasr，《教的科学与文雅》，第93页。
“暗藏的(Bätin)：[这]可能看作是人类微观寰宇的符号，正在人身上，物质是最表正在的展现，心灵实质是最暗藏的....”[S。H. Nasr，《教的科学与文雅》，第94页。] [10]
“存正在的同一准绳”贯穿了这些作品的实质，有时以至是它们的题目。有时，它被推到一个科学不确的景象，如声称艺术的整个几何图案都是通过基于圆的细分的简单构造设施推导出来的，以便宣告这种艺术作品是“存正在的同一”的一个例子。这个论点浮现正在I. El-Said的《艺术中的几何观念》中。正在他的先容中，Titus Burckhardt指出，整个的几何图形都是由相像的“从一个圆的调和割据中得出一个开发(或图形)的整个要紧比例的设施”得出的……这只能是是一种表达同一的符号性方法(Tawhid)，这是行动整个多样性的出处和极点的神圣同一的玄学学说”[11]。这正在圆的细分网格中有所证明，图案便是从这个网格发达而来的(图4.1) [12]。然而，正在某些环境下，作家大意了画圆，嘲弄地揭示了它的存正在关于所谓的衍生整个图案的“独一方法”是何等不确定(图4.2) [13]。结果，正在少许打算案例中，不大概暗藏明白设施不建树的本相。这些图示(图4.3)包蕴一个标为“变体”的非圭表区域！[14]拉长的矩形区域显明属于2重对称群，而且不行被正在4重对称群的正方形中胜过性呈现的“单向”的总结所掩饰。
图4.1：正在推导整个几何图形时，夸大圆的细分。出自I. El-Said，艺术中的几何观念[12]。
图4.2：正在推导这个几何图形时，没有浮现圆。出自I. El-Said，艺术中的几何观念[13]。
图4.3：圆的计划不适合长矩形单位时，标帜一个变异区。选自I. El-Said的《艺术中的几何观念》。
从科学表面中咱们清楚，有17组差其它二维对称图案，它们正在两个独立的宗旨上是周期性的。自30年代中期以后，这17种图案的对称规定一经被国际晶体学家科学界所确立和承认。然而，到了70年代中期，咱们还不认可这一本相，并宣传惟有一种设施可能描述出整个的图案。人们不得不指出，《艺术中的几何观念》这本书的中心包蕴了一种科学不确，以满意所期待的奥妙评释的需求。
至于结果一本书，L. Bakhtiar的《苏菲：奥妙寻求的表达》，说几句就够了。正在右侧的砌砖图(图5.1)中，A点和B点是四重盘旋对称操作4和4 的差别盘旋核心，正在伊朗伊斯法罕寺的砌砖图案中，被宣告为“shuhü d，存正在[居心识地见证天主的存正在] (A)，和ghabat，不存正在[无认识地见证天主的存正在] (B)”。几何打算中最大作的图案，互锁的八角星和十字架(图5.2)，形成了“局势，扩张，屈曲，慈善的气味”！[16]这种图案存正在于单纯的砌砖、瓷砖、木料和纯金中！我思清楚做这个打算的工匠是否以为它是局势、扩张、屈曲和慈善天主的呼吸？这岂非不是一个单纯的几何打算，蕴涵4点盘旋对称吗？(图5.3)自信奥妙主义和遵照它的实习并体验它的踊跃影响是一回事。然则，当一套新的评释和符号正在史书毕竟的幌子下被缔造和撒布时，环境就所有差别了。正在这些合于几何打算、图案和点缀的书本中，符号性的奥妙评释是基于对文学的新颖清楚。没有书面证据证实这种评释正在几百年前艺术局势被缔造出来的功夫就被给与了。
图5.1：L. Bakhtiar正在《苏菲:奥妙寻求的表达》一书中对砖砌的两个差其它四重对称核心给出了奥妙的评释。
图5.2：L.巴赫提亚正在《苏菲:奥妙寻求的表达》中利用于八角星和十字图案的奥妙符号。
纳斯尔的早期著述揭示了一个造就新颖人清楚符号主义说话以复兴古板科学的项目标中枢。他正在《人与天然：新颖人的心灵危境》中宣传：
“然而，古板科学的这种兴盛必要从头出现符号主义的真正寄义，并造就新颖人清楚符号主义的说话，就像造就新颖人操作逻辑或数学说话雷同。”
不幸的是，大多依然没居心识到这一点。假如正在这些现正在商场上很容易买到的书中，他们的作家一经领略地证实，提出的见识是对旧局势的新颖清楚，将它们形成符号，就没有原故驳倒。题目正在于将这些新颖奥妙主义见识行动史书道理大白，似乎这些符号便是艺术局势被缔造时的意旨。接触过这些书本的非主义者会舛讹地以为新颖的评释便是史书毕竟。真正的史书磋议与缔造和给与过去的局势以符号意旨之间的边界正在哪里？咱们奈何从奥妙评释的裹尸布中赎回几何样式、局势和图案，以便看到精准的科学打算的根本？
与此同时，艺术史表面界限中几种设施的骤然大作浸没了艺术。这种环境要紧必要从无帮于清楚几何和图案的浅白明白中提取界限。
这些设施中最超越的是视觉感知和视觉描绘，由鲁道夫·阿恩海姆扩展，他的书刚才出书，当时他正在哈释教书。这种艺术史设施夸大拣选性视觉的流程，其磋议和清楚艺术的首要设施是基于视觉描绘和感知的心绪评释，蕴涵平均、运动和张力等元素。重心是人们看到了什么，以及人们看到什么和奈何看到的渐进机造。以是，通过图6.1-6.3中的详明依序，旁观Kharraqän(公元486年/公元1093年)·马基(Muhammad Makki)墓中砖墙的图形图，观多试图描述视觉感知和图案描绘的大概拣选机造。一幼我大概开始注意到v形，然后是笔直的x形或秤谌的x形，然后才认识到有点或圆，必要平均它们，相连它们，并正在分组中看到方形联系或双边联系。同样，观多起初感知笔直或秤谌宗旨、节律和反复。只须一幼我正在看，只须有一个撒手或视觉暂停，就会有一个直接的拣选和新感知的流程。正在这全豹中，咱们依然停滞正在表面的描绘层面。
图6.3：Kharraqan砌砖图案的根基几何机合的视觉描绘和依序描绘。
正在调查这些幼的几何样式(图6.2和6.3)或形似的样式时，我通常听到人们正在辩论中高声宣传这是一个音位，我思清楚所指的是什么。这是第二个影响，说话学的时尚，当时大作度很高，平素保持到八十年代。正在开发中的符号和符号一文中，奥列格·格拉巴尔连续应用语素、音位和符号学等术语：“一个中心，如muqarnas，简直涉及点缀的整个语素.”[19].我问，这意味着什么？假如咱们要应用说话学、符号学或得当的另一种说话，让咱们起码应用一种能告诉咱们合于这个几何机合的东西。假如咱们连续挑选幼的元素，譬喻语素和更大的元素，譬喻语素，那么咱们对真正存正在的图案或打算有什么清楚呢？这里另有一种激烈的原子论偏向，这种偏向类似植根于社会学家，稀奇是现代阿拉伯史书作者的某种政事偏向，将文明和文雅描绘为“原子论”，将社会描绘为“马赛克”。这种见识以为，该会集体的一个别与另一个别之间没相联系。这是一个随机的会集。没有机合开元。有元素；全豹都被简化成那些元素。艺术史学家通过调查这些几何图案和马赛克，进一步使这一见识合法化。然而，假如咱们连续怠缓而编造地调查咱们所描绘的图案，咱们会出现正在这些砖块样式之间存正在着少许实践的联系；砖块图案中有少许预期的依序；假如咱们停下来深刻调查一下。那些几何元素和砖块样式不是随机浮现的。让·皮亚杰正在他的机合主义中保持以为，“一个完全并不等同于先前可得回的元素的单纯并列”。由于假如咱们现正在调查造成一个正方形的圆(图6.3)，咱们会正在它们中央看到一个真正的正方形，正在正方形方圆咱们会看到四个锭剂呈四重盘旋图案。假如咱们回到咱们起初的地方，咱们必需问这些题目：语素正在哪里？钱正在哪里？所指的是什么？这里的符号学联系正在哪里？很光鲜，这种从说话学和符号学说话中借用的术语，不会让咱们走得太远；由于它以至不行告诉咱们，正在砖块的视觉图案之下有一个健壮的几何机合；它也不行告诉咱们，这个砌砖的挂毯有一个意旨，或者符号和符号一个特定的观念。这并不是说，说话学和符号学科学的丰富说话和设施不行用作其他界限的明白器械，稀奇是正在文学明白中；然则正在几何图形的环境下，咱们一经有了一种精准的科学说话来表达这个目标。
别的，合于这个图案的底层机合(图6.2和6.3)，按照我平素正在磋议的巴黎手稿“On interlocking similar and congruent figures”(Fitadäkhul al-ashkäl al-mutashäbiha aw al-mutawäfiqa)中的证据(图7)鉴定，四到五个鲜明的几何构造措施可能启发咱们找毕竟层的根基机合:假如咱们应用对称操作对机合的元素举办操作或搬动，则会浮现差其它联系(图6.4和6.5)。通过这种方法，咱们可能从相像的根本元素中斥地出差其它图案。正如皮亚杰(J. Piaget)所看到的，组成作曲流程的那些元素之间存正在着一种严紧的联系，它们合正在一齐组成一个完全。组合物有法则可循。通过如许的推理，咱们异常靠拢群体机合和群论。
图6.4：从Kharraqan砌砖图案的相像根本几何机合发达出差其它图案。
图6.5：从Kharraqan砌砖图案的相像根本几何机合发达出差其它图案。
巴黎手稿(图7)中第五步构造的最终样式是艺术中最常用的打算之一。它正在木成品和陶瓷中最受接待。它正在木料中应用的一个异常早期的例子是正在摩苏尔的伊玛目易卜拉欣清线).它被用正在伊斯法罕大教堂寺伊旺侧墙的陶瓷中，最初修于约莫公元515年/1122年，其后正在公元1112年/1800年从头装修(图9.1和9.2)。这个打算与一个异常要紧的几何题目相合，而且有鲜明的表面或科学分支。正在适用几何的古板中，早正在十世纪的阿布勒·瓦法时间，就对三角形和正方形等几何区域的划分爆发了浓郁的风趣。正方形正在两个方面获得了稀奇的注意:(1)当一个正方形的边长已知时，奈何把它分成给定命目标正方形(两个、三个或更多)；以及(2)奈何构造巨细等于两个、三个或更多给定正方形的面积之和的正方形(图10)。正如咱们将要看到的，古典希腊几何和毕达哥拉斯表面打点了这些题目标一个详细环境。欧几里得的《几何原来》第一卷命题47(图11.1)给出了毕达哥拉斯表面的希腊表明设施，该设施依赖于相像三角形和面积利用的历久表明，而手稿中的设施更靠拢于印度的波斯卡拉(生于公元1114年)的表明(图11.2)，由托马斯·希斯爵士正在他对欧几里得《几何原来》的评论中给出[21]。关于工匠来说，设施依赖于一种适用的表明设施(图12.1)，个中第二个正方形b被分成两个相当的矩形；矩形然后通过它们的对角线被切割成两个三角形。然后将获得的四个三角形安顿正在正方形c的方圆，它们的斜边与正方形c的边相邻或重合。正在中央留下一个正方形区域，最幼的正方形a安顿正在个中以适合全盘区域。这种设施中的视觉大白度准许手艺职员免职春联系式a2 + b2 = c2的逻辑表明的必要。这并不料味着工匠和科学家-几何学家，如abül waf，没有区别逻辑表明的须要性或遵照科学家通过精确表明检讨的构造设施的须要性，这与非正式的试错法相反。相反，正在他的“合于正方形的划分及其组合”一章中，他夸大工匠们该当认识到正在他们的构造中寄托试错法并不是通往精确的道道，纵使丹青看起来类似是视觉上精确的。相反，几何学家通过逻辑表明表明为精确的设施是工匠该当遵照的设施，由于反复时，这些设施将老是被表明是精确的，不像基于试错反复或视觉近似的设施。关于一个几何学家来说，一朝一个题目被精确地表懂得，视觉表观就不再要紧了，纵使丹青看起来不精确或精确。abül waf 阐述说，正在一次由科学家、几何学家和工匠构成的集会上，这两个群多用差其它设施从三个正方形的总和中构造出一个正方形。工匠们思用剖解正方形的设施，把切割的个别加正在一齐，来修造更大的正方形。他们还带来了其他几种设施，个中少许可能被表明，另少许则不行，假使那些不行被表明是精确的设施正在观多眼中或通过观多的视觉联思依然是精确的。他指出了少许不精确的用法，他说，是为了让工匠们认识到精确和不精确的设施，如许他们就能领略地清楚不给与不精确的设施。最终，灵活智慧的工匠将只依赖于表明的设施，而不是试错法[22]。
图8：摩苏尔伊玛目易卜拉欣清线：伊斯法罕大教堂寺的西北伊旺展现了正在伊旺的正面和拱顶内的四个地方大比例应用该图案。照片:S. P .和H. N. Seherr-Thoss,《开发中的打算和颜色》,第187页。华盛顿特区史密森学会(1968年)。
图9.2：陶瓷板显示了大尺寸的图案，正在幼正方形的核心，上面写着创造它的打算师和工匠的名字。图片出处:s.p.和h.n. Seherr-Thoss，《开发中的打算与颜色》，第189页。史密森学会，华盛顿特区(1968年)。
图10：这幅图展现了修造一个大广场时碰到的题目之一。来自Abül-Wafa al-Büzjäni手稿，开罗，Dar al-Kutub。
图11.1：欧几里得命题的希腊表明设施出自托马斯·希思爵士，《欧几里得的几何学》。
图11.2：印度的Bhä skara设施。出自托马斯·希思爵士，欧几里得《几何原来》[21]。
图12.1：几何打算揭示了联系a2 + b2 = c2的视觉大白的设施。
这品种型的几何代数正在绘造的几何插图中供给了很大都学和代数题目，咱们看到这些大作的艺术打算中激增，个中少许正在这里显示(图6.1-6.5，8，9.1和9.2)，这些将再次浮现正在稍后辩论的巴黎手稿的几何题目中(图19.1-19.20)。正在极少数环境下，开发师-工匠类似通过视觉证据无声地宣告他对这一几何本相的切确相识，将他的打算放正在点缀的明显处所，如大教堂伊斯法罕清线)，或者实践上正在打算的核心广场核心区域印有他的名字或签字“这是·伊本·穆明··阿明的作品……”(图9.2)；显明，正在这个处所上，他是正在向子女公告，他“清楚而且清楚他清楚……”正如阿拉伯谚语所说。正方形的边(图12.2)呈现它被分成两段a和b，个中边的和等于a+b ,( a+b)2 = a2+2ab+b2。注意，正在伊斯法罕墙壁陶瓷打算的环境下(图9.2)，长度a的巨细是b的一半，但不愿定必需如斯。这种特定的比例(a: b = 1:2)大概被手艺职员应用，由于它简化了丈量和切割的工作。图12.1和12.2遵照这一特定的向例，而图7显示了该定理的更大凡的局势，个中a与b不行正比，或者个中幼的内部正方形的边是b-a。以是:
正在这些几何打算中，工匠展现了两种差其它要紧联系：毕达哥拉斯定理和二次二项式的开展。
正在这里，回到奥妙的评释来辩论这个特定的打算是适应的。K. Critchlow把它蕴涵正在他的《图案》一书中(图13)；他的明白基于十二边形和正方形，并评论道:
图13：与K. Critchlow正在图案b[23]中给出的相像的打算。
我连续质疑将这些现代的评释归因于旧的古板几何局势。我不清楚这是若何发作的，正在我查验的数百敌手稿中，合于几何打算，我没有碰到任若何许的评论或评释。为什么我以至没有出现一个旁注，从其后的工夫，咱们看到正在插图(图14)中有足够的空间可供任何人随后增加如许的评论。行动史书学家，咱们的工作是尽大概靠拢最初的毕竟，寄托史书上可证明的文献。这些手稿中独一的评论，黑白科学的，浮现正在这些手稿中，常常正在给定文本的最后说:“……最领略”。这是这些科学家再三反复的独一宗教线)，正在这个短语中没有任何奥妙或宇宙论的暗意。相反，它响应了一个异常超越的信心，即人正在领会造物主之前是谦虚的。固然科学家确信他的构造设施是精确的，由于爆发的几何图案是精准的，然则，纵使正在这种确定性的环境下，他也客气地避免说这是确定的道理，而是说真正的常识只属于他的天主：，全知的。科学家的这种客气立场相符信心的大凡立场或样板。
到了七十年代中期(1974-1976)，我所有一心于巴黎手稿第169号，“合于相像或全等图形的连锁”，并详明处置个中出现的每个题目。1977年1月，我的磋议中发作了少许事项。有一天，1977年1月的最新一期《科学美国人》惹起了我的注意，由于上面有一篇我大概感风趣的合于瓷砖和图案的著作。当我看着封面时，我认出了我正正在画的一个几何图形。这类似很不寻常，由于这篇著作是正在宣告现代科学对一种新的数学联系和一种新的几何样式的出现。然而，我确信我清楚阿谁几何样式。其后，我把这本杂志和我磋议的手稿中的几页拿给我的两位教练看。令人悲伤的是，他们所有没居心识到我所看到的，也没居心识到它的要紧性。马丁·加德纳正在《科学美国人》的“密铺表面”中宣告了出多的非周期密铺雄厚了密铺的表面”，行动罗杰·彭罗斯的两个样式的新出现，可能以非离散的群图案(延长到无尽但不反复)将空间密铺到无尽并不是新的！(图15) [24]固然非周期密铺的表面没有浮现，但这种样式和图案的几何修设正在巴黎手稿中是存正在的，它被描绘为从十边形和五边形星衍生的联系，正在手稿中被定名为“五边形封印”(图16)。这些所谓的新样式和图案现正在以至被原料科学家用来明白新原料的机合(准晶体，schechtmanite) [25]，现正在被称为彭罗斯密铺，拥有科学家打算者几百年前就清楚的几何局势或样式。惟有绘造它的设施和它所涉及的联系是差其它:新颖的彭罗斯设施依赖于黄金比例和黄金三角形，夸大角度的价格，而陈腐的设施应用十边形的核心角，但夸大十边形的半径和它的边的长度的比例和联系，也夸大这些线的长度的比例。这将正在自此的出书物中详明辩论。
图15：《科学美国人》的封面，贴着十边形和五角星形的彭罗斯瓷砖[24]。
图16：来自巴黎几何手稿的180a开本，“相像或一概图形的互锁”，显示了与彭罗斯密铺相像的十角形和五角星的打算。
那时我还正在潜心读化学书，有一天偶尔看到一本书名很吸引我的书:《色彩与对称》，作家是正在哈佛大学任教的阿瑟·勒布。我插手了他本学年放学期的第一次班会。我给他看了我正正在做的原料和加德纳的著作，他不单清楚，况且正在上节课上辩论过。阿拉伯谚语中有句天经地义：
很疾我出现A. Loeb有我所寻找的说话，他一经澄清并使艺术学生更容易清楚各类对称符号编造的丰富说话，以至是国际晶体学表(图17)。我对对称的磋议使我出了很多书。与艺术最合连的是赫尔曼·表尔的经典作品《对称》(1952)，HSM。Coxeter的文本，《几何导论》(1961)和A. V. Shubnikov和V. A. Koptsik的《科学与艺术中的对称性》(1972);G. D.阿查尔译英(1974)。这些都不是为了满意艺术和打算的特定需求而打算的。相反，他们扩展了对称性的辩论;第二份应用了《国际晶体学表》的符号，第三份包蕴了异常详明和细致的枚举，远远超越了艺术史学家的必要。
说话多样性和说话庞杂的一个很好的例子是比力表，显示了平面临称群的七个更大作的符号编造(图18)，蕴涵正在一篇很短的著作中，“平面临称群：他们的识别和符号”，多丽丝·沙茨施耐德正在《美国数学月刊》(1978年6月-7月)[28]。与此相反，A. Leob的符号编造阐懂得对称群的每一个核心点；给出每个对称盘旋核心的对称值(这对艺术学生和打算艺术家或开发师异常有效)；评释了圆正在空间中彼此效力的效力，揭示了空间、根基区域和晶胞、反射和对映状态的本质，并通过给落正在镜线上的核心的对称数值加下划线和正在滑移点核心的对称数值上应用倒v(A)来区别反射和滑移。别的，他的编造可能很容易地教艺术学生，正在很短的工夫内，由于正在某种意旨上很大一个别是面向他们的。最要紧的是，他还领会到，咱们正在这一界限面对的题目依然是浩瀚说话中的一种，这形成了说话的庞杂，最终，咱们必需拣选一种说话来彼此换取。
差别符号编造的多样性也一经悄然进入算计机寰宇。到1987年，商场上有良多基于对称性的软件图形圭表。每一个都应用本人的符号编造和代码或代号来呈现圭表爆发的群论的对称图案。正在某些环境下，一个近似的词被用来描绘一个图像，如雪花，或另一个远不如晶体学家正在1935年斥地的原始说话精准的花哨词。合于对称性的书本并没有做得更好超越，它们往往会填补由多种说话惹起的庞杂。合怀这一中心的学术界必需决策奈何从头设立一套一概的和特定的符号集，行动这有限数目标图案的圭表参考。
群论及其符号编造对艺术的要紧性正在于，它为艺术中应用的多数几何打算供给了一个精准分类的器械。它也是一个有帮于识别打算中应用的对称性的明白器械。别的，它供给了精准的说话和术语，对这些图案感风趣的人可能通过这些说话和术语就这些图案举办精准的换取。关于插足对称性磋议的科学家来说，整个这些类似都是多余的，但关于艺术史学家来说，这依然是一个未被承认的器械。
走出几何艺术的对称性，咱们将看到几何打算流程的机造。惟有当咱们遵守一步一步的措施构修几何打算时，咱们才略所有清楚它。以是，手稿、证据和文献变得至合要紧，由于惟有它们才略启发咱们找到题目标中枢。仅仅给原文一个急速的翻译，以至一个原文的版本是不敷的，这两者自己都不行导致对打算流程的清楚。这便是为什么咱们有须要详明磋议现有的科学手稿和旧文件，由于它们可能使咱们最靠拢打算科学的切实史书流程。清楚它们的科学意旨也很要紧，由于惟有如许咱们才略把它们放正在更大的配景下，并领会到它们正在几何打算科学中的要紧性。比方，下面这个来自巴黎手稿的192b的例子，由于它应用了一个苛厉的无理数算法，于是很吸引人。固然基于异常苛厉的算法和比例，但正如咱们将看到的，这种几何打算设施及其局势并不是一个紧闭的、没有终点的编造。它的上风正在于其推导的单纯性和细密性，由于这两个特色给与了它从一组单纯的比例中爆发无尽数目标打算转移的绽放才能。
就应用原始材料而言，对开本192b是一个有题目标，由于它有四幅插图，惟有三个文本(图19)。假设三个插图有文本，而一个插图没有，最靠拢每个插图的文本属于它。正在翻译了文本并将其与插图举办比力后，我出现文本和插图类似并错误应。以是，我起初明白插图的几何样式，并重修打算。一次又一次，我回到文本和对开本，现正在一经所有像一个谜。我正在明白右上角插图的几何时，浮现了少许特定的数字和无理数。一天，当我起初阅读左上角的文字时，这些数字看起来很谙习。骤然，我认识到这些数字正在数值上与对开本右上角插图中的错误称四边形合连。拼图的碎片拼正在一齐了。两个上面的文本该当相连成一个文本，这一个文本不属于旁边的插图复造，但对开本的中央右侧的插图。显明超越，这是一个缮写者的舛讹，这反过来告诉咱们合于这份特有的手稿的其他少许事项：它是复造的，以是断定有另一份形似的手稿。我正在这里的首要祈望是，原始手稿正在某个地方幸存了下来，有一天会被认出或出现。应用另一份手稿，可能处置个中少许文字题目。
艺术史学家Midhat S. Bulatov正在他1978年正在莫斯科出书的《9 -15世纪中亚开发的几何调和》(Geometricheskaiia Garmonizatisiia Arkhitektury Srednei Azii ix - xvv .)一书中打点了这个题目(原始波斯语手稿的文本由Vil’danova翻译成俄语)。我与布拉托夫先生正在这个题目标几个重修点上有差其它观点，布拉托夫先生对这个题目标阐发异常简短。他不适合地得出结论，以为这个题目没有附有评释性案文。他说，“下面的机合描绘(正在手稿的原始文本中)与图纸不符，这是通过以下方法解码的……“[29]。换句话说，假使维尔达诺娃一经翻译了属于这个几何题目标前两篇著作(如图所示)，但这个题目是独立于手稿文本处置的。
正在打点原始文献时，假如没有可用于绘造几何插图的文本，则准许正在提出题目标处置计划时有所自正在。然而，正在这些处置计划将只是近似的原始设施的流程。究竟，有多少现代人对打点一个题目感风趣，就有多少种差其它设施来打点这个题目。咱们该当像对付任何史书文件雷同对付这些文件。原著的每一个细节都必需被无缺地展示出来，试图尽大概地靠拢切实，就像任何史书学家城市记载过去的一段插曲雷同。正在一幼我证懂得它之后，那么就有评释和暗意可能被创议或给出。
正在打点手稿中的几何图形或插图的环境下，人们必需查验原始的物理手稿。这是一个至合要紧的题目，由于很多施工标帜只是由缮写员的圆规的尖针末梢轻轻刮擦纸张表面来标帜这些未着墨的机合点。这一本相意味着，照片和缩微胶片不成避免地是不无缺的文献，由于它们不行描述这些未链接的标帜，而且必需查验原件以举办任何无缺的考核。大凡来说，苏联的学者团队仅限于磋议手稿的缩微胶片，而无法查验原始手稿。他们为回归这些原始材料所做的勉力该当受到歌咏，而其他西方学者对这些原始材料展现出嫌疑的立场，缺乏风趣，也没有才能检索和打点它们。第二，人们祈望他们可以更多地相识国际舞台上的少许首要题目和详细的科学出现，这关于领会这些原始文件正在科学史上的环球意旨有很大帮帮。
图19.9：这显示了当宽度= 1的指针从A点(图19.9b)和D点(图19.9c)增加到AG和BD两侧，搬动A到A′，B到B′，G到G′和D到D′时，宽度等于1个单元的十字形区域是奈何爆发的。宽度等于1个单元的第三个条带单元从AG上的点A起初丈量，并平行于AB绘造(图19.9d)。将1个单元的前两个日晷增加到四边形ABGD中，使其正在更大的错误称四边形纸鸢样式ABCD中依旧其原始比例1:2:2:√7(图19.9e)，然后正在其直角D 处盘旋四次，造成大正方形单元(图19.9f)。
图19.10：这显示了丈量三次等于1个单元的边,√7加上3 + √7。1单元带(图19.9中第三个带的结果)显示为环绕正方形的界限。
图19.11：差别比例的四边形正在4倍盘旋中爆发了边长为3 +√7的大正方形单元。
图19.14：当咱们对全盘单位利用镜像反射和滑动的对称操作时，一个图案将发竣工镶嵌平面，正在244或p4g中。它有一个四重盘旋核心，两条笔直的滑移线穿过该核心，将它们带到下一个对映的四重对称核心。双重盘旋核心位于正方形的四角，位于两个以直角结交的镜子上。于是2重核心位于镜子上，一个4重盘旋对称核心是另一个4重盘旋对称核心的滑动图像。
图19.14：四边形正在244对称操作中反复；2重核心正在笔直结交的镜像线重核心正在滑移线：这显示了以最单纯的方法着色的图案，显示了环绕每个正方形的核心盘旋的四个幼纸鸢样式。颜色也揭示了这种图案奈何成为陶瓷或木成品的一个异常好的中心，只必要三种差其它样式:一个对称的幼纸鸢，一个菱形和一个四边形。
图19.16a：当四边形没有细分，并通过对称操作反复时，咱们可能领略地看到半条例五边形以及它们奈缘何四重对称244镶嵌平面。半正五边形的两个相对的直角准许四重盘旋。
图19.16b：这里，半条例的五边形被涂上了三种色彩，以使它们更容易被看到。
图19.16 c2-3：正在页面底部绘造了两个差其它半正五边形。右边是五边形，√7是打算中的临界值。左边是J. A. Dunn正在一篇合于“镶嵌与五边形”的著作中给出的西方版本。Dunn五边形有一个等腰五边形三角形它的临界长度是a√2关于等边，而第三条边是a或苟且给定的长度。
图19.17：如图19.9所示，正在边长比例为2:2:1: √7的四边形纸鸢样式的AG和BD边上填补1个单元宽度的日晷，可能使它正在较大的样式中依旧向来的比例。当这个更大的错误称纸鸢形四边形环绕一个点盘旋四次时，它创修了一个更大的正方形(边长为3 + √7的正方形(正在手稿的文本中给出),正在核心没有留下任何空缺区域。
图19.18-19-21：正在正方形内，咱们看到有三个对称的巨细差其它纸鸢形四边形，它们镜像对称，使双方相当(注妄思19.9和19.11)。纸鸢的样式比例相像，但有三种差其它巨细。
图19.19：当这些对称的纸鸢样式环绕一个点盘旋四次时，它们造成一个较大的正方形，并正在核心留下一个较幼的正方形。咱们现正在可能看到这个图案是奈何与摩苏尔伊玛目易卜拉欣木门上的打算以及伊斯法罕寺的打算合系起来的(图7-8)。正方形的边呈现它被划分为a和b段，个中边的和= a + b， (a + b)2 = a2 + 2ab + b2。这和第一组表面纠集的一模雷同，大白正在视觉描绘和哈拉坎塔砖墙的机合明白中。
与70年代奥妙评释的尾随者的见解相反，没有其他简单的公式来推导艺术中的整个几何图案。所谓的特有的构造设施是基于圆的细分；它不是科学公式的代替品，也不行行动衍生和构修整个几何图案的独一设施来撒布。图案对称性的科学告诉咱们，有17个差其它周期性二维群和7个正在简单宗旨上周期性的群(弦或带)，而且这些群中的每一个都可能有无尽数目标差别打算。正如所见，这些几何手稿给了咱们根基的17个周期组的无尽打算转移的样本；这些记载下来的几何题目或例子反过来可能成为斥地很多新打算的根本。
图19.17：错误称的纸鸢形四边形ABGD的4倍盘旋正在较大的正方形单位(3 + √7)的核心没有留下空缺空间。
图20.4：画出较幼四边形的对角线：画出正方形和长方形的对角线：绘造正方形和矩形的第二条对角线的错误称纸鸢形四边形ABGD 2重和4重盘旋爆发的图案有多种。这些图案按序通过进一步细分和样式的拣选性对称着色而成倍填补，以发达出无尽数目标图案，个中少许例子可能正在这些照片中看到。
图21.1-21.12：错误称四边形ABGD爆发的彩色图案示例(不幸的是以诟谇再现)。
我拣选这个卓殊的四边形，是由于我感觉它的几何异常苛厉，算法也很特有。本相上，它是如斯苛厉，但不知何故如斯单纯，乃至于乍一看，它爆发的错误称四边形或纸鸢样式看起来很无聊或没有视觉兴会。然而，当通过差其它对称操作和着色应用时，它显示生爆发无尽数目图案的潜力。正在这方面，我思援用A. Loeb的著作《算法、机合和模子》:
“正在打算中，算法设施以单纯的方法爆发雄厚的图案，超越了肉眼的曲目。别的，这种天生图案的观念因素拥有其自己的美学吸引力，并组成了艺术与科学之间的要紧合系。”[32]
假如对A. Loeb来说，“科学的效力是寻找适应的模块和算法，这些模块和算法爆发的模子的举动形似于”咱们正在打算中看到的单纯算法和样式，那么艺术也必需寻找适应的科学说话和器械来爆发新的局势和表达。
10多年前，我坚毅驳倒试图将我从适用几何的手稿的中枢实质引开，以打点王子和皇家赞帮的题目，常识界，或第十世纪巴格达的常识行动及其正在咱们具有的第一本适用几何手册的写作中的效力。当时我问了这些题目：这些文本存正在和缔造的环节正在哪里？是正在当时阿谁地方科学的详细造诣和计划水准上？这是皇家常识分子的赞帮吗？这符应时间的便宜和实际吗？是正在一个特定的科学家-几何学家身上，仍然正在他对可用的科学原料的风趣和游戏中？或者是艺术、工匠和开发师的内正在需求，最终启发科学家缔造了这些文本。这岂非不是他们存正在的真正原故吗？
70年代中期，人们所有回避回归古板的试验。此日，对少许人来说，转向古板是一件入时的事项，也是国际集会合怀的一个入时话题。对另少许人来说，这是一件该当避免的恐慌事项，由于它意味着守旧主义向中世纪的反动回归，并被视为激进主义的泉源。纵观史书，总有一种音响宣传古板与现代息息合连。我试图正在这里直观地展现，回到中世纪古板的磋议，并不愿定意味着见解从本世纪倒退到中世纪，无论是正在科学和几何打算界限，如这里的环境，仍然正在其他界限。相反，环境大概刚巧相反，由于古板是如斯健壮，假如咱们接触当今时间的说话，并以这种健壮的陈腐古板为根本，咱们就可能竣工一种不单是现代的，况且不才个世纪大概是居心义和有用的表达方法。(这里大白的打算实例一经有10多年的史书了。)
奉到诱导说:祝你泰平。他说:“有常识的与无常识的相当吗?惟有理智的人能觉醒。” [33]开元走进巴别塔：超越打算的对称
